Ergänzungsvorlesung: Anwendungen der Spektralsequenz von Serre (Teil 2)

Online-Vorlesung:
Anwendungen der Spektralsequenz von Serre (Teil II)

von Prof. Dr. Stephan Klaus
Fachbereich Mathematik, Universität Mainz, Wintersemester 2020/21
(Die Vorlesung wurde wegen der Pandemie am MFO gehalten und dort
aufgezeichnet.)

Inhaltsverzeichnis der Vorlesung:

   7. Die Signatur und das Chern-Hirzebruch-Serre-Theorem

   8. Kohomologie von Gruppen

   9. Eilenberg-MacLane-Räume, Kohomologie-Operationen und Anwendungen

   10. Berechnung einiger Homotopiegruppen von Sphären

Stichworte zum Stoff der Vorlesung:

7. Die Signatur und das Chern-Hirzebruch-Serre-Theorem

• Homologie-Mannigfaltigkeiten und H*(M,M-x;Z)
• Lokale und globale Orientierung einer Mannigfaltigkeit
• Reduktion der Strukturgruppe von O_n auf SO_n
• Orientierungsüberlagerung
• Induzierte Orientierung auf dem Rand
• Stiefel-Whitney-Klassen
• Beispiele
• Fundamentalklasse (ohne/mit Rand)
• Zusammenhang mit dem Abbildungsgrad
• Produkte und Auswertungen in Kohomologie und Homologie
• Natürlichkeit und Adjunktionsformel
• Poincaré-Dualität
• Poincaré-Lefschetz-Dualität
• Schnittform
• Klassifikation symmetrischer und antisymmetrischer unimodularer Formen
• Signatur einer Form bzw. einer Mannigfaltigkeit
• Verhalten unter direkter bzw. zusammenhängender Summe
• Verhalten unter Tensorprodukt bzw. kartesischem Produkt
• Beispiele
• Lagrangians und Sub-Lagrangians
• Bordismus und Nullbordanz
• Beispiele: RP²ⁿ⁺¹ und CP²ⁿ⁺¹
• Charakteristische Zahlen
• Bordismus-Invarianz charakteristischer Zahlen
• Bordismus-Invarianz der Signatur
• Bemerkung: Satz von Thom und Hirzebruchscher Signatursatz
• Chern-Hirzebruch-Serre Theorem
• Differentielle Poincaré-Algebren
• Beweis des Chern-Hirzebruch-Serre Theorems
• Flächenbündel über Flächen

8. Kohomologie von Gruppen

• Prinzipalfaserbündel
• Universelle Prinzipalfaserbündel und Klassifikationssatz
• Modelle für EG und BG
• Beispiele
• Freie Produkte
• Zyklische Gruppen und Linsenräume
• Kohomologieringe
• Bar-Auflösung
• Homologie und Kohomologie von diskreten Gruppen
• Satz: algebraische Beschreibung von H⁰, H¹ und H²
• Lyndon-Hochschild-Serre Spektralsequenz
• Operation von Q auf H*(BN;R)
• Innere Automorphismen operieren trivial, Out(N)
• Theorem von Stallings-Stammbach
• Transfer und Folgerungen
• Theorem von Evans-Venkov
• Hilbert-Serre Theorem
• Poincaré-Reihe von BG
• Kohomologie der binären Ikosaedergruppe
• Kohomologie der Quaternionengruppe
• Operationen auf Sphären und Homotopie-Sphären
• Periodische Kohomologie
• Theoreme von Swan, Wall und Tate
• Kohomologie der Diedergruppe
• Kranz-Produkte und Theorem von Nakaoka

9. Eilenberg-MacLane-Räume, Kohomologie-Operationen und Anwendungen

• Eilenberg-MacLane Räume
• Konstruktion nach McCord
• Universelle Klasse und Darstellungssatz für Kohomologie
• Eindeutigkeit bis auf Homotopieäquivalenz
• Kohomologie-Operationen
• Beispiele
• Yoneda-Lemma
• Brownscher Darstellungssatz
• Suspension und Stabilitätssatz für Kohomologie-Operationen
• Axiome für Steenrod-Squares
• Existenz- und Eindeutigkeitstheorem
• Bemerkung zu reduzierten Potenzen
• Weitere Eigenschaften
• Totales Steenrod-Square
• Theorem: Adem-Relationen
• Zulässige Monome
• Theorem von Lucas über Binomialkoeffizienten
• Sq für RPⁿ
• Suspensionen haben triviale Produkte
• Beispiel: CP², S²vS⁴ und deren Suspensionen
• Bemerkung: cup-Länge und Lusternik-Schnirelman Kategorie
• Eilenberg-Zilber Theorem
• cup-produkt und Approximation der Diagonalen
• Theorem: Höhere Diagonal-Approximationen
• cup-i-Produkte und Korand-Formel
• Definition von Sqⁿ
• Beweis der Axiome
• Theorem von Serre über H*K_n
• Spaltungssatz und Eindeutigkeit der Sqⁿ
• Bullet-MacDonald-Identität
• Beweis der Adem-Relationen
• Steenrod-Algebra
• Satz: Zulässige Monome bilden Basis
• Satz: Unzerlegbare Elemente
• Ganzzahlige Hopf-Invariante
• Satz: Eigenschaften
• Whitehead-Produkt und Eigenschaften
• Folgerung für π_4m-1(S^2m)
• Stabile Hopf-Invariante
• Satz: Trivialität außer für 2^r-1
• Theorem: Nichttrivial ⇔ 0, 1, 3, 7
• Anwendung auf Divisionsalgebren und Sphären als H-Räume

10. Berechnung einiger Homotopiegruppen von Sphären

• Endliches Postnikov-Systeme
• Postnikov-Zerlegung X → .. → Pⁿ⁺¹X → PⁿX → ..
• Höherzusammenhängende Überlagerungen
• Whitehead-Zerlegung X ← .. ← WⁿX ← Wⁿ⁺¹X ← ..
• WⁿX = Fib(X → PⁿX) und weitere Eigenschaften
• Beispiel: BO<8> → BSpin → BSO → BO
• Theorem: Wu-Formel für Sq(w)
• Theorem: Z/2-Kohomologie von BSpin
• Theoreme von Cartan-Serre: Kohomologie von K(Z,n) und K(Z/p,n)
• Erste p-Torsion von H*(K(Z,n);Z) in Dimension n+2(p-1)
• Weitere Resultate von Cartan und Kochman
• Tabellen zu stabilen Operationen in kleinen Dimensionen
• Theorem: stabile Homotopiegruppen π₀=Z,π₁=Z/2, π₂=Z/2 und π₃=Z/24
• Theorem: erste stabile Homotopiegruppe mit p-Torsion in Dimension 2p-1
  

Vorlesung an der Universität Mainz, Winter 2020/21

Siehe auch: Anwendungen der Spektralsequenz von Serre (Teil 1), Vorlesung an der Universität Mainz, Sommer 2020