V40 - Stabile Homotopietheorie I - Material

Online-Vorlesung für die Universität Mainz, Sommersemester 2021. In der algebraischen Topologie besagt der Freudenthalsche Einhängungssatz, dass der Einhängungshomomorphismus unter bestimmten Bedingungen ein Isomorphismus ist. Insbesondere trifft dies auf genügend häufige Einhängungen von endlichen Komplexen zu. Dieses Phänomen der Stabilität wird durch die Einführung der "stabilen Kategorie" verallgemeinert, deren Objekte also "stabile Räume" darstellen und Spektren genannt werden. Während die fehlende Linearität das Arbeiten mit Räumen und Homotopieklassen von Abbildungen sehr erschwert, verhält sich die stabile Kategorie viel besser. Zudem kann man jede verallgemeinerte Homologietheorie durch ein Spektrum darstellen. Wir werden in der Vorlesung eine Einführung in diese Theorie geben und anhand vieler Beispiele (wie z.B. K-Theorie und Bordismus) die Vorteile gegenüber der "instabilen Homotopietheorie" sehen.