V06 - Einführung in die Homotopie-Theorie - Material

Vorlesung: 

Einführung in die Homotopie-Theorie
von Prof. Dr. Stephan Klaus
Fachbereich Mathematik, Universität Mainz, Sommersemester 2004

Inhaltsverzeichnis der Vorlesung:

  1. Kategorien von topologischen Räumen
  2. Homotopie und Homotopie-Gruppen
  3. CW-Komplexe
  4. Kofaserungen und Homologie
  5. Faserungen und Faserbündel
  6. Modellkategorien
  7. H- und coH-Räume, Eilenberg-Maclane-Räume
  8. Postnikov- und Whitehead-Zerlegung
  9. Brown-Copeland-Zerlegung
  10. Theoreme von Hurewizc, Whitehead und Freudenthal
  11. James-Konstruktion, Bott-Samelson-Theorem und James-Milnor-Zerlegung
  12. Ausblick auf weitere Themen

Stichworte zum Stoff der Vorlesung:

1. Kategorien von topologischen Räumen

  • Topologische Räume
  • Simpliziale Komplexe
  • Mannigfaltigkeiten
  • CW-Komplexe
  • Kompakt erzeugte schwache Hausdorff-Räume
  • Simpliziale Mengen
  • Reduziert (mit Basispunkt) vs. unreduziert (ohne Basispunkt, "frei")

2. Homotopie und Homotopie-Gruppen

  • Homotopie reduziert/unreduziert
  • Homotopie-Äquivalenzen und Homotopie-Kategorie
  • Homotopie-Gruppen (absolut/relativ)
  • Operation der Fundamentalgruppe und Whitehead-Produkt
  • Fundamentalgruppe und Überlagerungen
  • Seifert-vanKampen-Theorem
  • Summen, Produkte, Quotienten und Verklebungen
  • wedge-Summe und smash-Produkt, Kegel und Suspension
  • Abbildungsräume und Exponentialgesetze
  • Pfadraum und Schleifenraum
  • Ajunktionen

3. CW-Komplexe

  • Zellen, CW-Komplexe und zelluläre Abbildungen
  • Skelette, endliche Komplexe und endlicher Typ
  • Beispiele: Scheiben, Sphären, Projektive Räume
  • Zelluläre Approximation von Abbildungen und Räumen
  • Schwache Äquivalenzen und Theorem von Whitehead
  • Abbildungsräume: Theorem von Milnor
  • Bemerkung: Morse-Theorie

    4. Kofaserungen und Homologie

    • HEP und Kofaserungen, Kofaser
    • Beispiele: CW-Unterkomplexe und relative CW-Komplexe
    • Verwandeln in eine Kofaserung
    • Kettenkomplexe und lange exakte Sequenzen (LES)
    • Barratt-Puppe LES
    • Homologie
    • Zellulärer Kettenkomplex
    • Kohomologie und Produkte

    5. Faserungen und Faserbündel

    • HLP und Faserungen, Faser
    • Beispiel: Wegefaserung
    • Beispiel: Abbildungsräume für eine Kofaserung
    • Beispiel: Faserbündel
    • Beispiel: Hopf-Abbildungen
    • Beispiel: Homogene Räume
    • Verwandeln in eine Faserung
    • Abbildungsfaser-LES

    6. Modellkategorien

    • Modellkategorie: Faserungen, Kofaserungen und schwache Äquivalenzen
    • Assoziierte Homotopie-Kategorie
    • Beispiele
    • Axiomatische Homotopie-Theorie

    7. H- und coH-Räume, Eilenberg-Maclane-Räume

    • H-Räume
    • Beispiel: Schleifenräume
    • Pontrjagin-Produkt
    • Samelson-Produkt
    • coH-Räume
    • Beispiel: Suspensionen
    • Triviales cup-Produkt
    • Eilenberg-MacLane-Räume

    8. Postnikov- und Whitehead-Zerlegungen

    • Postnikov-Zerlegung
    • Fehlende Funktorialität der k-Invarianten
    • Whitehead-Zerlegung
    • Funktorialität

    9. Brown-Copeland-Zerlegung

    • Moore-Räume und Peterson-Räume
    • Homotopie mit Koeffizienten
    • Brown-Copeland-Zerlegung
    • Fehlende Funktorialität

    10. Theoreme von Hurewicz, Whitehead und Freudenthal

    • Theorem von Hurewicz
    • Der quadratische Funktor von Whitehead
    • Theorem von Whitehead über Homologie-Äquivalenzen
    • Suspensionstheorem von Freudenthal
    • EHP-LES

    11. James-Konstruktion, Bott-Samelson-Theorem und James-Milnor-Zerlegung

    • James-Konstruktion und Theorem von James
    • James-Hopf-Invarianten
    • Bott-Samelson-Theorem
    • James-Milnor-Zerlegung

    12. Ausblick auf weitere Themen

    • Hilton-Milnor-Theorem
    • Blakers-Massey-Theorem
    • Lokalisierung
    • Vervollständigung
    • Toda-Klammern
    • Theoreme von Moore-Neissendorfer
    • Federer-Spektralsequenz
    • Instabile Adams-Spektralsequenz