V17 - Kompakte Lie-Gruppen und ihre Darstellungen - Material

Vorlesung: 

Kompakte Lie-Gruppen und ihre Darstellungen
von Prof. Dr. Stephan Klaus
Fachbereich Mathematik, Universität Mainz, Wintersemester 2009/10

Inhaltsverzeichnis der Vorlesung:

  1. Topologische Gruppen
  2. Lie-Gruppen und Lie-Algebren
  3. Kompakte Lie-Gruppen, maximale Tori und Weyl-Gruppe
  4. Wurzelsysteme und Klassifikation
  5. Zur Topologie von Lie-Gruppen
  6. Darstellungen von kompakten Lie-Gruppen

Stichworte zum Stoff der Vorlesung:

1. Topologische Gruppen

  • Grundbegriffe
  • Zusammenhangskomponenten und Überlagerungen
  • Topologisch zyklische Gruppen
  • Haarsches Maß
  • Charaktere
  • Schursche Orthogonalitätsrelationen
  • Klassifikation der Darstellungen durch Charaktere

2. Lie-Gruppen und Lie-Algebren

  • Lie-Gruppen, -Untergruppen und -Homomorphismen
  • Lie-Algebren, Exponentialabbildung und adjungierte Darstellung
  • Klassifikation der abelschen Lie-Gruppen
  • Invariante Integration
  • Theorem von Cartan über abgeschlossene Untergruppen
  • Bemerkung: Theorem von Ando und Baker-Campbell-Hausdorff-Formel
  • Beispiel: Matrixgruppen
  • Beispiel: G2 und F4
  • Beispiel: Spin-Gruppen

3. Kompakte Lie-Gruppen, maximale Tori und Weyl-Gruppe

  • Maximale Tori und Hauptsatz
  • Folgerungen: Rang, Surjektivität von exp
  • Weylgruppe und Raum der Konjugiertenklassen
  • Weylsche Integralformel
  • Beispiele (s.o.)

4. Wurzelsysteme und Klassifikation

  • Wurzeln: global, lokal, infinitesimal
  • Wurzelsysteme
  • Operation der Weyl-Gruppe
  • Weyl-Kammern und einfache Wurzeln
  • Dynkin-Diagramm
  • Einfache und halbeinfache Gruppen
  • Kompaktheit
  • Killing-Cartan-Klassifizierung
  • Isomorphismen in kleinen Dimensionen
  • Tabellen für die klassischen Gruppen, G2 und F4

5. Zur Topologie von Lie-Gruppen

  • Malcev-Iwasawa-Zerlegung
  • Kompakt-universelle Überlagerung
  • Wurzelgitter und Fundamentalgruppe
  • Verschwinden der zweiten Homotopiegruppe
  • Bemerkung: höhere Homotopiegruppen
  • Bemerkung: Bott-Periodizität

6. Darstellungen von kompakten Lie-Gruppen

  • Komplexe und unitäre Darstellungen
  • Vollständige Reduzibilität
  • Gewichte einer Darstellung
  • Klassenfunktionen und Charaktere
  • Theorem vom höchsten Gewicht
  • Weylsche Charakterformel
  • Weylsche Dimensionsformel
  • Reduktion von tensorprodukten und Kostant-Formel
  • Bemerkung: Borel-Weil-Theorem
  • Reelle und symplektische Darstellungen