V25 - Charakteristische Klassen [KIT] - Material

Vorlesung:

Charakteristische Klassen

von Prof. Dr. Stephan Klaus

Karlsruhe Institute of Technology, Wintersemester 2013/14

Inhaltsverzeichnis der Vorlesung:

Vektorbündel, Grassmann-Räume und Klassifikationssatz
Prinzipalfaserbündel und klassifizierende Räume
Euler-Klasse
Stiefel-Whitney-Klassen
Chern-Klassen
Pontrjagin-Klassen
Anwendung: Reduktion der Strukturgruppe
Anwendung: Immersionen und Einbettungen
Anwendung: Bordismus
Ausblick in weitere Themen

Stichworte zum Stoff der Vorlesung:

1. Vektorbündel, Grassmann-Räume und Klassifikationssatz

Reelle, komplexe und quaternionische Vektorbündel
Beispiele
Konstruktionen mit Vektorbündeln
Zurückziehung (Pullback)
Universelle Vektorbündel
Klassifikationssatz

2. Prinzipalfaserbündel und klassifizierende Räume

Faserbündel
Prinzipalfaserbündel
Klassifizierende Räume
Klassifikationssatz
Kohomologie von klassifizierenden Räumen

3. Euler-Klasse

Thom-Isomorphismus und Gysin LES
Euler-Klasse
Eigenschaften
Topologisches Gauß-Bonnet-Theorem

4. Stiefel-Whitney-Klassen

Axiome
Konstruktion
Beispiele
Wu-Klassen
Wu-Formel

5. Chern-Klassen

Axiome
Konstruktion
Beispiele
Der Chern-Charakter

6. Pontrjagin-Klassen

Konstruktion und Eigenschaften
Axiome der rationalen Pontrjagin-Klassen
Beispiele
Der Pontrjagin-Charakter

7. Anwendung: Reduktion der Strukturgruppe

Reduktion der Strukturgruppe
Beispiele: SO_n, Spin_n, SU_n.Spin_n^c, Pin_n⁺, Pin_n^-
Hindernis-Theorie

8. Anwendung: Immersionen und Einbettungen

Die Sätze von Whitney
Das Normalenbündel einer Immersion
Sperrigkeit einer Mannigfaltigkeit
Beispiele
Das allgemeine Einbettungstheorem

9. Anwendung: Bordismus

Charakteristische Zahlen
Bordismus
Pontrjagin-Thom-Konstruktion
Bordismus mit vorgegebener Struktur
Beispiele
Sätze von Thom, Milnor und Wall

10. Ausblick in weitere Themen

K-theoretische charakteristische Klassen und Zahlen
Spin-Bordismus
BO<8>