V33 - Arithmetische Topologie I - Material

Vorlesung:

Arithmetische Topologie I

von Prof. Dr. Stephan Klaus

Fachbereich Mathematik, Universität Mainz, Wintersemester 2017/18

Inhaltsverzeichnis der Vorlesung:

Einführung in die Thematik
Knoten und Verschlingungszahlen
Das quadratische Reziprozitätsgesetz
Überlagerungen
Körpererweiterungen
Gelfand-Neumark-Korrespondenz
Grundbegriffe der kommutativen Algebra
Hilbert-Theorie
Affine Varietäten
Das Primspektrum eines Ringes
Prägarben, Garben und Schemata

Stichworte zum Stoff der Vorlesung:

1. Einführung in die Thematik

Entsprechungen topologischer (a) und algebraisch/zahlentheoretischer (b) Sachverhalte:
(a) Verschlingungszahl von zwei Knoten (Gauß 1833, Elektromagnetismus)
(b) Legendre-Symbol und quadratisches Reziprozitätsgesetz (Gauß 1801)
(a) (un)verzweigte Überlagerungen, Decktransformationen, universelle Überlagerung
(b) Endliche Erweiterungen von Zahlkörpern, Zerfallen von Primidealen
(a) Gelfand-Neumark-Korrespondenz und Swan-Korrespondenz
(b) Primspektrum, Zariski- und etale Topologie
(a) Fundamentalgruppe
(b) Grothendieck-Fundamentalgruppe
(a) Knotengruppe, Wirtinger-Darstellung
(b) Arithmetische Darstellung
(a) Massey-Produkte und Milnor-Invarianten von Verschlingungen
(b) Massey-Produkte in etaler Kohomologie

2. Knoten und Verschlingungszahlen

Knoten und Verschlingungen
Homotopie, Isotopie und ambiente Isotopie
Diagramme und Reidemeister-Transformationen
Orientierung
Beispiele für Knoten und Verschlingungen
Abbildungsgrad und Eigenschaften
Bordismusinvarianz
Allgemeiner Jordan-Brouwer-Trennungssatz
Verschlingungszahl und Eigenschaften
Seifert-Flächen
Bemerkung zur Selbstverschlingung

3. Das quadratische Reziprozitätsgesetz

Endliche Körper
Frobenius-Automorphismus
Gaußsche Zahlen
Kreisteilungsringe
Legendre-Symbol
Einfache Eigenschaften
Quadratisches Reziprozitätsgesetz von Gauß
Summe von Quadraten und Zwei-Quadrate-Satz
Primideale in Z[i]

4. Überlagerungen

Überlagerungen
Wegeraum und Schleifenraum
Universelle Überlagerung
Fundamentalgruppe und charakteristische Untergruppe
Hauptsatz der Überlagerungstheorie
Normale Überlagerungen
Decktransformationen
Verzweigte Überlagerungen

5. Körpererweiterungen

Körper, Charakteristik, Primkörper und Zahlkörper
Algebraischer Abschluss
Körpererweiterungen
Galois-Gruppe
Hauptsatz der Galois-Theorie
Normale Körpererweiterungen

6. Gelfand-Neumark-Korrespondenz

Lokalkompakte Räume und Funktionenringe
Kommutative Banach-Algebren
Satz von Gelfand-Mazur
Maximales Spektrum
Gelfand-Neumark-Korrespondenz
Vektorbündel und Schnittmoduln
Projektive Moduln
Swan-Korrespondenz

7. Grundbegriffe der kommutativen Algebra

Primideale und maximale Ideale
Noethersche Ringe und Moduln
Hilbertscher Basissatz
Radikal und Jacobson-Radikal
Beispiele
Euklidische Ringe, PIDs und UFDs
Dedekind-Ringe
Lokale Ringe
Lokalisierung

8. Hilbert-Theorie

Zahlkörper und Galois-Gruppe
Ganze algebraische Zahlen
Zerfallen von Primidealen in Erweiterungen
Hilbert-Theorie

9. Affine Varietäten

Polynomringe, Varietäten und Verschwindungsideale
Hilbertscher Nullstellensatz
Zariski-Topologie
Irreduzibilität und affine Varietäten
Affiner Koordinatenring
Endlich erzeugte, nullteilerfreie und kommutative Algebren

10. Das Primspektrum eines Ringes

Primspektrum und Zariski-Topologie
Spec als Funktor
Zariski-Topologie für Spec(Z/p) → Spec(Z)
Restklassenkörper K_p zu p ∈ Spec(R)
Lokalisierung R_p
Zariski-Tangentialraum T_p
Reguläre Funktionen und R
Beispiel: Quotientenring
Beispiel: Lokalisierung
Verletzung der Hausdorff-Eigenschaft
Abschluss
Spec ist kompakt
Das Radikal als generischer Punkt
Beispiele

11. Prägarben, Garben und Schemata

Prägarbe auf einem topologischen Raum als Funktor
Limits und Colimits in Kategorien
Halme und Keime
Exaktheitsbedingung und Garben
Geringte Räume
Garbifizierung
Zusammenkleben von Schnitten
Spec(R) und Strukturgarbe O(R)
Schemata