V34 - Arithmetische Topologie II - Material

Vorlesung: 

Arithmetische Topologie II

von Prof. Dr. Stephan Klaus

Fachbereich Mathematik, Universität Mainz, Sommersemester 2018

Inhaltsverzeichnis der Vorlesung:

Stichworte zum Stoff der Vorlesung:

12. Weilsche Vermutungen

• Riemannsche Zeta-Funktion
• Euler-Produkt und weitere Eigenschaften
• Riemannsche Vermutung
• Zeta-Funktion Z_V für Varietäten V über endlichen Körpern
• Beispiel: Projektive Gerade
• Weilsche Vermutungen:
  (1) Rationalität
  (2) Funktionalgleichung und Poincaré-Dualität
  (3) Riemannsche Vermutung für Z_V
  (4) Betti-Zahlen
• Beweise durch Grothendieck, Deligne und Dwork
• Hypothese: Weilsche Kohomologie-Theorie
• Lefschetz-Spurformel
• Beweis der Weilschen Vermutungen (1), (2) und (3)

13. Etale Kohomologie nach Grothendieck

• Garben und Cech-Kohomologie
• Grothendieck-Topologie
• Etale Morphismen von Schemata
• Eigenschaften
• Etale Überlagerungen
• Etale Topologie
• Etale Kohomologie ist eine Weilsche Kohomologie-Theorie

14. Etale Fundamentalgruppe nach Grothendieck

• Galois-Theorie
• Galois-Kohomologie
• Unendliche Galois-Erweiterungen
• Krull-Topologie
• Trennungsaxiome und total unzusammenhängende Räume
• Beispiel: p-adische Zahlen
• Residuell endliche Gruppen
• Gerichtete Mengen und profinite Gruppen
• Profinite Vervollständigung
• Eigenschaften und Beispiele
• Etale Fundamentalgruppe
• Eigenschaften
• Beispiele: Z und Z/p

15. Fundamentalgruppe von Knoten und Verschlingungen

• Hurewicz-Theorem
• Seifert-VanKampen-Theorem
• Fundamentalgruppe mit Generatoren und Relationen
• Wirtingerdarstellung
• Beispiele
• Bemerkung zur Klassifikation von Knoten

16. Primzahlen als arithmetische Knoten

• Etale Topologie von Z/p
• Etale Topologie von Z
• Projektion Z → Z/p entspricht Knoten S¹ → S³
• Arithmetisches Knotenkomplement
• Arithmetische Wirtinger-Darstellung
• Legendre-Symbole als Verschlingungszahlen zweier Knoten
• Beispiele
• Ausblick in weitere Themen