V35 - Bott-Periodizität [KIT] - Material

Vorlesung: 

Bott-Periodizität
von Prof. Dr. Stephan Klaus
Karlsruhe Institute of Technology, Wintersemester 2018/19

Inhaltsverzeichnis der Vorlesung:

  1. Einführung: Homotopiegruppen der klassischen Lie-Gruppen
  2. Morse-Theorie auf Schleifenräumen
  3. Vektorbündel und Verklebefunktionen
  4. K-Theorie
  5. Vektorfelder
  6. Divisionsalgebren und parallelisierbare Sphären
  7. Fastkomplexe Strukturen auf Sphären
  8. Die Hopf-Invariante
  9. Clifford-Algebren und algebraische Bott-Periodizität
  10.  Homologischer Beweis der Bott-Periodizität
  11.  Sätze von Gelfand-Neumark und Swan
  12.  K-Theorie und Bott-Periodizität für C*-Algebren

Stichworte zum Stoff der Vorlesung (in Bearbeitung):

1. Einführung: Homotopiegruppen der klassischen Lie-Gruppen

  • Homotopiegruppen πk(X)
  • Beispiel πk(Sn) für k ≤ n
  • Suspension S(X) und Schleifenraum Ω(X)
  • Beispiel S(Sn)=Sn+1
  • Adjunktion [SX,Y]=[X,ΩY], Folgerung πk ΩX = πk+1 X
  • Lie-Gruppen und Lie-Algebren
  • Klassische Lie-Gruppen On, Un und Spn
  • Beispiele: O1 = S0 = Z/2,  SO2 = U1 = S1,  SU2 = Sp1 = S3,  SO3 = RP3
  • semidirekte Produkte SOn → On → O1 und SUn → Un → U1
  • Folgerung: Diffeomorphismen On = SOn x O1 und Un = SUn x U1
  • Faserbündel (FB) und Prinzipalfaserbündel (PFB)
  • Lange exakte Sequenz (LES) für ein FB
  • Beispiel: Überlagerung
  • Homogene Räume G/H, PFB H → G → G/H
  • Beispiel On → On+1 → Sn, Un → Un+1 → S2n+1 und Spn → Spn+1 → S4n+3
  • Stabile Gruppen O, SO, U, SU und Sp
  • Satz: stabiler Bereich für die klassischen Gruppen:
    Reell                   πk On = πk O     für k < n-1
    Komplex            πk Un = πk U      für k < 2n
    Symplektisch   πk Spn = πk Sp  für k < ...
  • Tabelle πk G für k = 0, 1, 2, 3 und 4
  • Universelles G-PFB G → EG → BG,  EG ~ 0, Homotopieäquivalenz (h.e.) ΩBG → G
  • Folgerung πn BG = πn-1G
  • Klassifikationssatz PFBG(X) = [X,BG]
  • Beispiele: BOn, BUn und BSpn, EOn, EUn und ESpn als unendliche Grassmann- und Stiefel-Räume
  • Bott-Periodizität (homotopietheoretische Version):
    Komplex: h.e.  Z x BU → ΩU,
    Reell: h.e.  Z x BO → Ω7O,  Z x BSp → Ω7Sp,  Sp → Ω4O
  • Folgerung: πn von U, O, Sp, 2-periodische bzw. 8-periodische Tabelle
  • Andere Formen und Beweise der Bott-Periodizität:
    K-Theoretische Version
    Algebraische Periodizität für Clifford-Algebren
    Homologische Version
    Funktionalanalytische Version für C*-Algebren

2. Morse-Theorie auf Schleifenräumen

3. Vektorbündel und Verklebefunktionen

  • F-Vektorbündel, Grundbegriffe
  • Beispiele: trivials VB, Möbius-VB, TM
  • Beispiele: Grassmann-Räume Grk(Fn) und tautologisches VB
  • Lineare Konstruktionen, Formeln, Halbring VBF*(X)
  • Immersion von Mannigfaltigkeiten und Normalenbündel
  • Submersion von Mannigfaltigkeiten und Bündel entlang der Fasern
  • Bündelmetrik, komplementäres Bündel
  • Existenz stabil inverser Bündel
  • Klassifikationssatz VBFn(X) = [X,Grn(F∞)]
  • Vektorbündel über einer Einhängung und Klebefunktion
  • Doppelte Einhängung
  • Stegige Kleber ~ Laurent-Kleber
  • Laurent-Kleber ~ Polynom-Kleber
  • Polynom-Kleber ~stabil Lineare Kleber
  • Lineare Kleber und Bott-Abbildung

4. K-Theorie

  • Grothendieck-Vervollständigung
  • Kürzungsproblem
  • Topologische K-Theorie K(X) und KO(X)
  • Stabile Äquivalenz und reduzierte K-Theorie
  • Bott-Periodizität in topologischer K-Theorie
  • K-Theorie als verallgemeinerte Kohomologie-Theorie

5. Vektorfelder

  • Vektorfelder, lineare Unabhängigkeit, Span(M), Parallelisierbarkeit
  • Lie-Gruppen sind parallelisierbar
  • Index einer isolierten Nullstelle von V in τM
  • Poincaré-Hopf-Theorem
  • Theorem von Hopf:  \Chi(M) = 0  ⇔  Span(M) > 0
  • Bemerkung: Span(Sn), Hurwitz-Radon-Zahl

6. Divisionsalgebren und parallelisierbare Sphären

  • Reelle Divisionsalgebren von Dimension n
  • Beispiele: R, C, Hamiltonsche Quaternionen H und Cayley-Oktaven O
  • Nichtlineare Divisonsalgebren
  • Satz:  Rn nichtlineare Divisionsalgebra  ⇒  Sn-1 ist parallelisierbar

7. Fastkomplexe Strukturen auf Sphären

  • Fastkomplexe Strukturen auf Mannigfaltikeiten
  • Fastkomplexe Strukturen auf Sphären
  • Satz:  Rn Divisionsalgebra  ⇒  Sn-2 ist fastkomplex
  • Kirchhoff-Konstruktion
  • Satz: Sn-2 ist fastkomplex ⇒  Rn ist nichtlineare Divisionsalgebra

8. Die Hopf-Invariante

  • Multiplikationen und Hopf-Konstruktion
  • Hopf-Invariante und Eigenschaften
  • Bigrad
  • Whitehead-Produkt
  • Gerade Hopf-Invariante und π4n-1S2n
  • λ-Ringe und Beispiele
  • Adams-Operationen und Eigenschaften
  • K-Theorie vom Abbildungskegel
  • Folgerung aus ψ5 = ψ2ψ3 = ψ3ψ2
  • Hopf-Invariante-1-Theorem ( n = 1, 2, 4 oder 8)
  • Äquivalenz mit: (nichtlin.) Divisionsalgebra, Parallelsisierbarkeit, H-Raum, Fastkomplexe Struktur
  • Bemerkung: Hurwitz-Radon-Zahl und Span(Sn)

9. Clifford-Algebren und algebraische Bott-Periodizität

  • Quadratische Formen
  • Clifford-Algebren
  • Universelle Eigenschaft
  • Dimension und Z/2-Graduierung
  • Graduiertes Tensorprodukt
  • Kanonischer Automorphismus und Antiautomorphismus
  • Clk Γk, Norm, Clk+, Clk-, Pink, Spink
  • Beispiele für kleine k
  • Komplexe 2-Periodizität: Clk ⊗ Cl2 = Clk+2
  • Reelle 8-Periodizität: Clk+ ⊗ Cl2- = Clk+2- und Clk- ⊗ Cl2+ = Clk+2+
  • Clifford-Moduln und Periodizität
  • Vektorbündel
  • Thom-Raum, Th(V ⊕ W) = Th(V) ∧ Th(W)
  • Clifford-Bündel, A(V)
  • ABS-Isomorphismus A(V) -> KO(Th(V))
  • Produktstruktur

10. Homologischer Beweis der Bott-Periodizität

  • Pontrjagin-Ringe
  • Hopf-Algebren
  • Abbildung φn : U2n/Un x Un → ΩSU2n
  • Abbildung ψn : Un+1/Un x U1 → ΩSUn+1
  • Stabilisieren: CP∞ → BU → ΩSU, jφ = ψ
  • Bild von j erzeugt Pontrjagin-Ring H*(BU)
  • Bild von ψ erzeugt Pontrjagin-Ring H*(ΩSBU)
  • Folge: Homologischer Beweis

11. Sätze von Gelfand-Neumark und Swan

  • Banach-Räume und Operatoren
  • Kommutative C*-Algebren
  • Satz von Gelfand-Mazur
  • Maximales Spektrum
  • Äquivalenz von Kategorien
  • Lokalkompakte Räume
  • Alexandrov-Kompaktifizierung
  • Satz von Gelfand-Neumark
  • Gelfand-Neumark-Segal-Konstruktion
  • Vektorbündel
  • Projektive Moduln
  • Satz von Swan

12. K-Theorie und Bott-Periodizität für C*-Algebren

  • Kompakte Operatoren
  • Satz von Schauder
  • Fedholm-Operatoren und Index
  • Eigenschaften
  • Satz von Atkinson
  • Calkin-Algebra
  • Raum der Fredholm-Operatoren
  • Satz von Atiyah-Jänich
  • Toeplitz-Operatoren
  • ...
  • Bott-Periodizität für C*-Algebren