V43 - Atiyah-Singer-Index-theorem I - Material

Vorlesung: 

Atiyah-Singer-Index-theorem I
von Prof. Dr. Stephan Klaus
Fachbereich Mathematik, Universität Mainz, Wintersemester 2022/23

Material zur Vorlesung:

Inhaltsverzeichnis der Vorlesung:

  1. Einführung
  2. Glatte Mannigfaltigkeiten
  3. Differentialformen und Hodge-Theorie für Riemannsche Mannigfaltigkeiten
  4. Partielle Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten
  5. Symbol und Fourier-Transformation
  6. Kompakte Operatoren
  7. Fredholm-Operatoren
  8. Sobolev-Räume

Stichworte zum Stoff der Vorlesung:

1. Einführung

  • Das Atiyah-Singer-Indextheorem
  • Rechte Seite: Analytischer Index (Teil I der Vorlesung)
  • Linke Seite: Topologischer Index (Teil II der Vorlesung)

2. Glatte Mannigfaltigkeiten

  • Glatte Mannigfaltigkeit, lokale Koordinaten, Atlas
  • Beispiel: n-Sphäre
  • Glatte Funktion
  • Tangentialraum und Tangentialbündel
  • Differential einer glatten Funktion
  • Glatte Vektorbündel
  • Vektorraum der glatten Schnitte
  • Tangentiale Vektorfelder
  • Triviale Vektorbündel
  • Duales Vektorbündel, direkte Summe und Tensorprodukt
  • Symmetrisches und alternierendes Produkt
  • Tensorfelder, Bündelmetrik, Riemannsche Metrik

3. Differentialformen und Hodge-Theorie für Riemannsche Mannigfaltigkeiten

  • Differentialformen, alternierendes Produkt, Differential, Pullback
  • DeRham-Kohomologie
  • Orientierung, Volumenform, Integral
  • Mannigfaltigkeit mit Rand, Integralsatz von Gauß-Stokes
  • Singuläre Homologie und Kohomologie
  • Theorem von DeRham
  • Bemerkung: Bordismus
  • Hodge *-Operator lokal und global, Eigenschaften
  • Gradient, Kodifferential und Divergenz
  • Laplace-Operator für Funktionen
  • Hodge-Laplace-Operator für Differentialformen
  • Bemerkung: Harmonische Formen und Hodge-Zerlegung
  • Poincaré-Dualität

4. Partielle Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten

  • Vektorfelder als Elemente von LPDO1(M)
  • Lie-Klammer
  • Lineare partielle Differentialoperatoren LPDOn(M)
  • Komposition von Operatoren
  • Theorem von Peetre
  • Jet-Bündel
  • Führendes Symbol
  • Elliptische Operatoren
  • Vektorbündel-wertige Operatoren

5. Symbol und Fourier-Transformation

  • Lokale Formulierung im Rn
  • Partielle Ableitungen und Taylor-Theorem
  • Schwartz-Klasse
  • Fourier-Transformation
  • Faltung und inneres Produkt
  • Beispiel: Gauß-Verteilung
  • Eigenschaften von Fourier-Transformation und inverser Fourier-Transformation
  • Zusammenhang mit dem Symbol

6. Kompakte Operatoren

  • Kompakte Operatoren
  • Beispiele: endlich-dimensionale, Hilbert-Schmidt- und Spurklasse-Operatoren
  • Theorem von Schauder
  • Spektralzerlegung kompakter Operatoren auf Hilbert-Räumen
  • Theorem: Integraloperatoren auf kompakten orientierten Mannigfaltigkeiten sind kompakte Operatoren

7. Fredholm-Operatoren

  • Banach-Räume und beschränkte Operatoren
  • Fredholm-Eigenschaft und Fredholm-Index
  • Beispiel: Schiebe-Operatoren auf L2(N)
  • Bild ist abgeschlossen
  • Index der Komposition
  • Parametrix und Satz von Atkinson
  • Calkin-Algebra
  • Stetigkeit des Index
  • Index liefert Isomorphie π0Fred(H) = Z

8. Sobolev-Räume

  • Sobolev-s-Norm und Sobolev-Raum
  • Erweiterungssatz für partielle Ableitungen
  • Sobolev-Ungleichung
  • Sobolevscher Einbettungssatz
  • Sobolevscher Regularitätssatz
  • Rellich-Lemma
  • Theorem: Elliptische LPDO sind Fredholm