V44 - Atiyah-Singer-Index-theorem II - Material

Vorlesung: 

Atiyah-Singer-Index-theorem II
von Prof. Dr. Stephan Klaus
Fachbereich Mathematik, Universität Mainz, Sommersemester 2023

Material zur Vorlesung:

Inhaltsverzeichnis der Vorlesung:

   9. Charakteristische Klassen und Geschlechter
   10. Das Symbolbündel eines Operators
   11. Gauß-Bonnet-Chern-Theorem
   12. Hirzebruchscher Signatursatz
   13. Anwendung: Exotische 7-Sphären
   14. Riemann-Roch-Theorem
   15. Dirac-Operator und Atiyah-Hirzebruch-Theorem
   16. Beweis des Atiah-Singer-Indextheorems

Stichworte zum Stoff der Vorlesung (in Bearbeitung):

9. Charakteristische Klassen und Geschlechter

  • Komplexe Vektorbündel
  • Reelle Vektorbündel mit/ohne Orientierung
  • Pullback von Vektorbündeln
  • Grassmannräume und tautologische Vektorbündel
  • Universelle Vektorbündel
  • Klassifikationssatz für Vektorbündel
  • Charakteristische Klassen
  • Chern-Klassen und Eigenschaften
  • Stiefel-Whitney-Klassen und Eigenschaften
  • Euler-Klasse und Eigenschaften
  • Pontrjagin-Klassen und Eigenschaften
  • Spaltungsprinzip
  • Charakteristische Klassen und elementarsymmetrische Polynome
  • Chern-Charakter
  • Anwendungen auf Einbettungen und Immersionen
  • Charakteristische Zahlen
  • Mannigfaltigkeiten mit Rand und Bordismus
  • Anwendungen auf Bordimus
  • Geschlechter
  • Todd-Geschlecht und Eigenschaften

10. Das Symbolbündel eines Operators

  • Kanonische Orientierung des dualen Tangentialbündels
  • Modifizierter Thom-Raum
  • Führendes Symbol als Klebeabbildung
  • Verklebung der zurückgezogenen Vektorbündel
  • Gysin LES und Division durch die Euler-Klasse

11. Gauß-Bonnet-Chern-Theorem

  • Thom-Raum, Thom-Klasse und Thom-isomorphismus
  • Euler-Klasse und Gysin LES
  • Euler-Charakteristik
  • Eigenschaften
  • Topologisches Gauß-Bonnet-Chern-Theorem
  • DeRham-Operator
  • Analytischer Index des DeRham-Operators = Euler-Charakteristik
  • Topologischer Index des DeRham-Operators = Integral über Euler-Klasse
  • Bemerkung: differentialgeometrisches Gauß-Bonnet-Chern-Theorem

12. Hirzebruchscher Signatursatz


13. Anwendung: Exotische 7-Sphären


14. Riemann-Roch-Theorem


15. Dirac-Operator und Atiyah-Hirzebruch-Theorem


16. Beweis des Atiah-Singer-Indextheorems

  • Beweisskizze mit Bordismus-Theorie
  • Beweisskizze mit der Wärmeleitungsgleichung