V45 - Spezielle Funktionen - Material
Vorlesung:
Spezielle Funktionen
von Prof. Dr. Stephan Klaus
Fachbereich Mathematik, Universität Mainz, Wintersemester 2023/24
Material zur Vorlesung:
Ich bin Herrn Schwarz für die Ausarbeitung des Scriptes, das er mit vielen Details und weiteren Informationen bereichert hat, sehr dankbar!
Inhaltsverzeichnis der Vorlesung:
- Gamma-Funktion
- Zeta-Funktion
- Elliptische Funktionen
- Gewöhnliche Differentialgleichungen
- Hypergeometrische Funktionen
- Bessel- und Zylinder-Funktionen
- Lambertsche W-Funktion
- Die j-Funktion
Stichworte zum Stoff der Vorlesung:
1. Gamma-Funktion
- Fakultät und Stirlingsche Näherungsformel
- Pochhammer Symbol
- Eulersche Integraldarstellung der Gamma-Funktion
- Theorem von Bohr-Mellerup
- Eulersche Beta-Funktion
- Zusammenhang mit der Gamma-Funktion
- Produktdarstellung der Gamma-Funktion
- Unendliche Produkte und Konvergenzsätze
- Weierstraßscher Produktsatz
- Meromorpher Funktionenkörper
- Weierstraß-Produkt für die Sinus-Funktion
- Satz von Euler (Baseler Problem)
- Multiple Zeta-Werte
- Harmonische Zahlen und Eulersche gamma-Konstante
- Weierstraß-Produkt für die Gamma-Funktion
- Logarithmus der Gamma-Funktion
- Eulersche Spiegelungsformel
- Gamma-Wert von 1/2
- Legendresche Verdopplungsformel
- Gaußsche Vervielfachungsformel
- Logarithmische Ableitung
- Digamma-Funktion und ihre Eigenschaften
2. Zeta-Funktion
- Reihendarstellung der Zeta-Funktion, Konvergenz
- Dirichlet-Reihen und Konvergenz
- Faltung und Produkt von Dirichlet-Reihen
- Eulersche Produktformel der Zeta-Funktion
- Multiplikative und strikt multiplikative Koeffizientenfolgen
- Produktdarstellung von multiplikativen Dirichlet-Reihen
- Möbius-Funktion und Möbiussche Inversionsformel
- Reziproke Zeta-Funktion
- Ableitung, Logarithmus und logarithmische Ableitung von Dirichlet-Reihen
- Bernoulli-Zahlen, erzeugende Funktion und Rekursionsformel
- Taylor-Reihe des Cotangens
- Eulersche Formel für gerade Zeta-Werte
- Dirichletsche Eta-Funktion
- Mellin-Transformation, Taylor-Reihen und Dirichlet-Reihen
- Integraldarstellung der Zeta-Funktion
- Abelsche partielle Summation
- Bruchanteil und Fourier-Reihe
- Funktionalgleichung der Zeta-Funktion
- Riemannsche Xi-Funktion
- Funktionswerte bei negativen ganzen Zahlen
- Laurent-Reihe der Zeta-Funktion
- Stieltjes-Konstanten
- Nullstellen der Zeta-Funktion
- Riemannsche Vermutung
- Primzahlfunktion
- Primzahlsatz
- Riemannsche R-Funktion
- Integrallogarithmus
- Theorem von Riemann (Primzahlfunktion, R-Funktion und Nullstellen)
3. Elliptische Funktionen
- Gitter und elliptische Funktionen
- Fundamentalmasche des Gitters, Torus als Quotientenraum
- Körper der elliptischen Funktionen
- Konvergenz der Ableitungen der p-Funktion
- Weierstraßsche p-Funktion
- Integralsatz und Integralformel von Cauchy
- Theorem von Liouville
- Anwendung: Fundamentalsatz der Algebra
- Ordnung der Null- oder Polstelle einer meromorphen Funktion
- Zusammenhang mit dem Kurvenintegral über die logarithmische Ableitung
- Liouvillesche Sätze für elliptische Funktionen
- Ordnung einer elliptische Funktion
- Eisenstein-Reihen
- Laurent-Reihe der p-Funktion
- Differentialgleichung der p-Funktion
- Gitter-Konstanten g2 und g3 und Diskriminante
- Höhere Eisenstein-Reihen sind Polynome in g2 und g3
- Elliptische Funktionen als rationale Funktionen von p und p'
- Halbwerte der p-Funktionen
- Nichtverschwinden der Diskriminante
- Bogenintegral für eine Ellipse
- Vollständige elliptische Integrale 1., 2. und 3. Art
- Integration spezieller Integranden
4. Gewöhnliche Differentialgleichungen
- Gewöhnliche Differentialgleichungssysteme (ODE)
- Lineare ODE der Ordnung n und lineares ODE-System der Ordnung 1
- Reduktionssatz auf Ordnung 1
- Existenzsatz von Picard-Lindelöf
- Lösung einer linearen ODE von Ordnung 1
- Exponentialfunktion für Matrizen
- Lösung eines linearen ODE-Systems von Ordnung 1
- Fundamentalsystem und Wronski-Determinante
- Liouvillesche Formel für die Ableitung der Wronski-Determinante
- Satz von Abel
5. Hypergeometrische Funktionen
- Hypergeometrische Reihen
- Konvergenz der hypergeometrischen Funktionen
- Hypergeometrische ODE
- Beispiele
- Gaußsche hypergeometrische Funktionen
- Ableitung
- Transformation des Differentialoperators
- Zweite Lösung
- Eulersche Integraldarstellung
- Gaußsche hypergeometrische Formel
- Chu-Vandermonde-Identität
- Konfluente hypergeometrische Funktionen
- Integraldarstellung
6. Bessel-Funktionen
- Nabla- und Laplace-Operator
- Schwingungsgleichung
- Trennung der Variablen
- Laplace-Operator in Zylinder-Koordinaten
- Radialsymmetrische Lösung
- Besselsche Differentialgleichung
- Bessel-Funktionen 1. Art
- Darstellung mit hypergeometrischen Funktionen
- Rekursionsformeln
- Ableitungsformeln
- Parameter 1/2
- Fundamentallösungen für nicht ganzzahlige Parameter
- Bessel-Funktionen 2. Art
- Bessel-Funktionen 3. Art (Hankel-Funktionen)
7. Lambertsche W-Funktion
- Definition der W-Funktion
- Eigenschaften
- Ableitung und Stammfunktion
- Omega-Konstante
- Komposition von Potenzreihen
- Lagrangesche Inversionsformel
- Taylor-Reihe der W-Funktion
- Lösung einiger transzendenter Gleichungen mit W
8. Die j-Funktion
- Homothetien
- Gewicht der Eisenstein-Reihen
- Diskriminante und j-Funktion
- Möbius-Transformationen der Riemannschen Zahlensphäre
- Projektive spezielle Gruppe
- Modulgruppe
- Modulfunktionen
- Fourier-Darstellung der j-Funktion
- Endliche einfache Gruppen
- Kompositionsreihen und Satz von Jordan-Hölder
- Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen: 18 unendliche Familien und 26 sporadische Gruppen
- Monster-Gruppe
- Griess-Algebra
- Monstrous moonshine