V46 - Endliche Permutationsgruppen - Material

Vorlesung: 

Endliche Permutationsgruppen
von Prof. Dr. Stephan Klaus
Fachbereich Mathematik, Universität Mainz, Sommersemester 2024

Material zur Vorlesung:

Ich bin Herrn Schwarz für die Ausarbeitung des Skriptes, das er mit vielen Details und weiteren Informationen bereichert hat, sehr dankbar!

Inhaltsverzeichnis der Vorlesung:

  1. Grundlagen aus der Gruppentheorie und Gruppenoprationen
  2. Automorphismen von Strukturen
  3. Anwendungen in Gruppentheorie, Algebra und Kombinatorik
  4. Klassifikation der Permutationsdarstellungen und Burnside-Ring
  5. Primitive Permutationsgruppen und Kranzprodukte
  6. Mehrfach transitive Permutationsgruppen
  7. Projektiv lineare Gruppen
  8. Die Mathieugruppen M11, M12, M22, M23 und M24
  9. Kombinatorische Designs und Steiner-Systeme
  10. Verbindungen zur Kodierungstheorie

Stichworte zum Stoff der Vorlesung:

1. Grundlagen aus der Gruppentheorie und Gruppenoprationen

  • Gruppen, Untergruppen, Homomorphismen, Normalteiler, Quotientengruppe und 1. Homomorphiesatz
  • Beispiele: Zyklische Gruppen, symmetrische Gruppen und alternierende Gruppen
  • Nebenklassen, homogene Räume und Satz von Lagrange
  • Operation einer Gruppe auf einer Menge und Permutationsdarstellungen, Ordnung und Grad
  • Effektivität, Core und Permutationsgruppen
  • Transitivität und Regularität
  • Bahn, Orbitraumzerlegung, Stabilisator und Fixpunktmengen
  • Burnside-Lemma
  • Semidirekte Produkte
  • Beispiele: Diedergruppen, affine Gruppen und Kranzprodukte

2. Automorphismen von Strukturen

  • Automorphismen von kombinatorischen Strukturen
  • Automorphismen von Graphen und der Satz von Frucht
  • Abstrakte simpliziale Komplexe
  • Automorphismen von algebraischen Strukturen
  • Endliche Körper
  • Automorphismen von geometrischen Strukturen
  • Platonische Körper

3. Anwendungen in Gruppentheorie, Algebra und Kombinatorik

  • Zentrum von p-Gruppen
  • Sylowsche Sätze
  • Sylow-Gruppen der Symmetrischen Gruppen
  • Schiefkörper mit Beispiel der Quaternionen
  • Kleiner Satz von Wedderburn über endliche Schiefkörper
  • Ganzzahlige Polynome
  • Iterierte Binomialkoeffizienten
  • Isomorphietypen und Automorphismen von Graphen und reinen simpliziale Komplexen

4. Klassifikation der Permutationsdarstellungen und Burnside-Ring

  • Arithmetik von Permuationsdarstellungen
  • Homogene Räume und Untergruppen bis auf Konjugation
  • Der Burnside-Ring
  • Beispiele

5. Primitive Permutationsgruppen und Kranzprodukte

  • Blockzerlegung einer Permutationsdarstellung
  • Primitivität
  • Maximalität des Stabilisators
  • Kranzprodukte von Permutationsdarstellungen
  • Rang einer Permutationsdarstellung

6. Mehrfach transitive Permutationsgruppen

  • k-fach transitive und scharf k-fach transitive Permutationsgruppen
  • Anzahlformeln
  • Triviale Beispiele: Symmetrische und alternierende Gruppen
  • Einschränkung und Erweiterung
  • Theorem von Jordan

7. Projektive lineare Gruppen

  • Formeln für die Ordnung von GLn(F) und SLn(F)
  • Formeln für die Ordnung von PGLn(F) und PSLn(F)
  • 2-fach transitive Operation
  • Projektive Gerade und gebrochen rationale Transformationen
  • Twisten mit Körperautomorphismen
  • Zassenhaus-Gruppen
  • Theorem von Zassenhaus über scharf-3-fach transitive Operationen

8. Die Mathieugruppen M11, M12, M22, M23 und M24

  • Der Erweiterungssatz von Witt
  • Konstruktion von M11 und M12
  • Konstruktion von M22, M23 und M24
  • Einfachheit der Mathieu-Gruppen
  • Bemerkungen zur Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen
  • Einfachheit der alternierenden Gruppen An
  • Einfachheit der speziellen projektiven Gruppen PSLn(F)

9. Kombinatorische Designs und Steiner-Systeme

  • Blocksysteme
  • kombinatorische t-Designs
  • Steiner-Systeme
  • Verkleinern des t-Parameters und zahlentheoretische Hindernisse
  • Witt-Designs W11, W12, W22, W23 und W24
  • Maximalität von W24

10. Verbindungen zur Kodierungstheorie

  • Codes von Länge n über einem Alphabet Q
  • Lineare Codes
  • Hammond-Abstand und Hammond-Ball
  • Fehlerkorrigierende Codes von Güte e
  • Ungleichung für q, e, m und n
  • Perfekte Codes und Perfektheitsgleichung
  • Der erweiterte binäre Golay-Code G24
  • G24 und W24