V46 - Endliche Permutationsgruppen - Material

Vorlesung: 

Endliche Permutationsgruppen

von Prof. Dr. Stephan Klaus

Fachbereich Mathematik, Universität Mainz, Sommersemester 2024

Material zur Vorlesung:

• Ankündigung der Vorlesung (PDF)
• Skript von Wolfgang Schwarz  (wird bald veröffentlicht)

Ich bin Herrn Schwarz für die Ausarbeitung des Scriptes, das er mit vielen Details und weiteren Informationen bereichert hat, sehr dankbar!

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Inhaltsverzeichnis der Vorlesung:

1. Grundlagen aus der Gruppentheorie und Gruppenoprationen
2. Automorphismen von Strukturen
3. Anwendungen in Gruppentheorie, Algebra und Kombinatorik
4. Klassifikation der Permutationsdarstellungen und Burnside-Ring
5. Primitive Permutationsgruppen und Kranzprodukte
6. Mehrfach transitive Permutationsgruppen
7. Projektiv lineare Gruppen
8. Die Mathieugruppen M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃ und M₂₄
9. Kombinatorische Designs und Steiner-Systeme
10. Verbindungen zur Kodierungstheorie

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Stichworte zum Stoff der Vorlesung:

1. Grundlagen aus der Gruppentheorie und Gruppenoprationen

• Gruppen, Untergruppen, Homomorphismen, Normalteiler, Quotientengruppe und 1. Homomorphiesatz
• Beispiele: Zyklische Gruppen, symmetrische Gruppen und alternierende Gruppen
• Nebenklassen, homogene Räume und Satz von Lagrange
• Operation einer Gruppe auf einer Menge und Permutationsdarstellungen, Ordnung und Grad
• Effektivität, Core und Permutationsgruppen
• Transitivität und Regularität
• Bahn, Orbitraumzerlegung, Stabilisator und Fixpunktmengen
• Burnside-Lemma
• Semidirekte Produkte
• Beispiele: Diedergruppen, affine Gruppen und Kranzprodukte

2. Automorphismen von Strukturen

• Automorphismen von kombinatorischen Strukturen
• Automorphismen von Graphen und der Satz von Frucht
• Abstrakte simpliziale Komplexe
• Automorphismen von algebraischen Strukturen
• Endliche Körper
• Automorphismen von geometrischen Strukturen
• Platonische Körper

3. Anwendungen in Gruppentheorie, Algebra und Kombinatorik

• Zentrum von p-Gruppen
• Sylowsche Sätze
• Sylow-Gruppen der Symmetrischen Gruppen
• Schiefkörper mit Beispiel der Quaternionen
• Kleiner Satz von Wedderburn über endliche Schiefkörper
• Ganzzahlige Polynome
• Iterierte Binomialkoeffizienten
• Isomorphietypen und Automorphismen von Graphen und reinen simpliziale Komplexen

4. Klassifikation der Permutationsdarstellungen und Burnside-Ring

• Arithmetik von Permuationsdarstellungen
• Homogene Räume und Untergruppen bis auf Konjugation
• Der Burnside-Ring
• Beispiele

5. Primitive Permutationsgruppen und Kranzprodukte

• Blockzerlegung einer Permutationsdarstellung
• Primitivität
• Maximalität des Stabilisators
• Kranzprodukte von Permutationsdarstellungen
• Rang einer Permutationsdarstellung

6. Mehrfach transitive Permutationsgruppen

• k-fach transitive und scharf k-fach transitive Permutationsgruppen
• Anzahlformeln
• Triviale Beispiele: Symmetrische und alternierende Gruppen
• Einschränkung und Erweiterung
• Theorem von Jordan

7. Projektive lineare Gruppen

• Formeln für die Ordnung von GL_n(F) und SL_n(F)
• Formeln für die Ordnung von PGL_n(F) und PSL_n(F)
• 2-fach transitive Operation
• Projektive Gerade und gebrochen rationale Transformationen
• Twisten mit Körperautomorphismen
• Zassenhaus-Gruppen
• Theorem von Zassenhaus über scharf-3-fach transitive Operationen

8. Die Mathieugruppen M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃ und M₂₄

• Der Erweiterungssatz von Witt
• Konstruktion von M₁₁ und M₁₂
• Konstruktion von M₂₂, M₂₃ und M₂₄
• Einfachheit der Mathieu-Gruppen
• Bemerkungen zur Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen
• Einfachheit der alternierenden Gruppen A_n
• Einfachheit der speziellen projektiven Gruppen PSL_n(F)

9. Kombinatorische Designs und Steiner-Systeme

• Blocksysteme
• kombinatorische t-Designs
• Steiner-Systeme
• Verkleinern des t-Parameters und zahlentheoretische Hindernisse
• Witt-Designs W₁₁, W₁₂, W₂₂, W₂₃ und W₂₄
• Maximalität von W₂₄

10. Verbindungen zur Kodierungstheorie

• Codes von Länge n über einem Alphabet Q
• Lineare Codes
• Hammond-Abstand und Hammond-Ball
• Fehlerkorrigierende Codes von Güte e
• Ungleichung für q, e, m und n
• Perfekte Codes und Perfektheitsgleichung
• Der erweiterte binäre Golay-Code G₂₄
• G₂₄ und W₂₄