V47 - Physik auf Mannigfaltigkeiten - Material
Vorlesung:
Physik auf Mannigfaltigkeiten
von Prof. Dr. Stephan Klaus
Fachbereich Mathematik, Universität Mainz, Wintersemester 2024/25
Material zur Vorlesung:
Vorläufiges Inhaltsverzeichnis der Vorlesung:
- Mannigfaltigkeiten
- Mechanik
- Statistische Mechanik und Thermodynamik
- Feldtheorie I: Elektrodynamik
- Feldtheorie II: Eichtheorie
- Quantenmechanik
- Kontinuumsmechanik: Hydrodynamik und Elastizitätstheorie
- Relativitätstheorie
Vorläufige Stichworte zum Stoff der Vorlesung:
1. Mannigfaltigkeiten
- Mannigfaltigkeiten
- Differentialformen, koordinatenfreier und lokaler Kalkül
- Integralsatz von Gauß-Stokes
- Laplace-Operator und Hodge-Theorie
- Globale Analysis: Elliptische PDE auf Mannigfaltigkeiten, Sobolev-Räume
- ODE, Vektorfelder und Flüsse
- Euler-Charakteristik und Poincaré-Hopf-Theorem
- Lie-Gruppen und Lie-Algebren
- Clifford-Algebren und Spinoren
- Prinzipalfaserbündel und Klassifikationssatz
- Stiefel-Whitney-Klassen, Orientierung und Spin-Struktur
- Riemannsche Mannigfaltikeiten
- Zusammenhang, Tensoranalysis und Krümmung
- Bianchi-Identitäten und Maurer-Cartan-Gleichung
- Krümmung und charakteristische Klassen
2. Mechanik
- Newtonsche Mechanik
- Galilei-Invarianz und Erhaltungsgrößen
- Wirkung und Lagrange-Mechanik
- Noether-Theorem
- Der allgemeine starre Körper und Maurer-Cartan-Gleichung
- Geschwindigkeitsabhängige Potentiale
- Dissipative Systeme
- Legendre-Transformation
- Hamiltonsche Mechanik
- Symplektische Mannigfaltigkeiten und Poisson-Klammer
- Integrale der Bewegung und integrable Systeme
- Kanonische Transformationen
- Satz von Liouville
3. Statistische Mechanik und Thermodynamik
- Statistische Mechanik
- Kontinuitätsgleichung
- Wärmeleitungsgleichung
- Laplace-Operator und Eigenwerte
- Entropie
- Brownsche Bewegung und Pfadintegral
4. Feldtheorie I: Elektrodynamik
- Poisson-Gleichung
- Maxwell-Gleichungen
- Erhaltungssätze
- EM-Potentiale
- EM-Schwingungen
- Lorentz-Kraft und Teilchen im EM-Feld
- Formulierung auf Mannigfaltigkeiten
- Formulierung als U1-Eichtheorie
5. Feldtheorie II: Eichtheorie
- Vektorpotentiale und nichtabelsche Eichgruppen
- Feldstärketensor
- Eichtheorie
- Lagrange- und Hamilton-Formulierung
- Yang-Mills-Theorie
- Instantonen
- Beispiel: Das Standard-Modell der Elementarteilchenphysik
- spontane Symmetriebrechung
6. Quantenmechanik
- Zustandsfunktionen und Observable
- Heisenbergsche Unschärferelation
- Schrödinger-Gleichung
- Ehrenfest-Theorem
- Bohm-Aharanov-Effekt
- Quantisierung mit dem Feynmanschen Pfadintegral
7. Kontinuumsmechanik: Hydrodynamik und Elastizitätstheorie
- Substantielle Ableitung
- Euler-Gleichung
- Maurer-Cartan-Gleichung für SDiff(M)
- Korteweg-deVries-Gleichung
- Integrabilität
- Magnetohydrodynamik
- Lineare und allgemeine Elastizitätstheorie
8. Relativitätstheorie
- Spezielle Relativitätstheorie
- Zeitdilatation, Lorenz-Kontraktion und Energie-Masse-Relation
- Allgemeine Relativitätstheorie
- Hilbert-Funktional
- Schwarzschild- und Kerr-Metrik
- Friedmann-Lösung
- Penrose-Singularitätentheoreme
- Kaluza-Klein-Theorie
- Ausblick: Quantisierung von relativistischen Feldtheorien