Doppelpendel

Drehen Sie den Knauf in der Mitte und versetzen Sie das Doppelpendel kräftig in Bewegung! Beobachten Sie, was passiert.

In der Schule lernen wir vor allem Systeme mit einem einfachen Schwingungsverhalten kennen, wie zum Beispiel ein einfaches Pendel. Seine Bewegung ist vorhersehbar: Es pendelt hin und her und irgendwann hört es wieder damit auf. Wenn man Faktoren wie Luftwiderstand und Reibung kennt, kann man die Bewegung mit einer gedämpften Sinusschwingung mathematisch beschreiben. Dann kann man die Höhe der Ausschläge und die Dauer des Pendelvorgangs genau berechnen.

Aber beim Doppelpendel ist das anders. Seine Bewegung ist langfristig nicht vorhersehbar. Um die Bewegung mathematisch zu beschreiben benötigt man ein System aus Differentialgleichungen. Dieses Gleichungssystem ist nur näherungsweise für bestimmte Startbedingungen lösbar. Das liegt daran, dass sich die beiden Pendel in ihren Bewegungen gegenseitig beeinflussen. Kleine Abweichungen können dadurch exponentiell verstärkt werden und minimale Änderungen gewaltige Unterschiede auslösen.

Solche Systeme werden als chaotisch bezeichnet. In der Mathematik bedeutet chaotisch nicht die Abwesenheit von Ordnung. Chaotische Systeme sind mathematisch beschreibbar und verhalten sich im Grunde deterministisch. Das heißt, sie werden nicht vom Zufall bestimmt. In der Praxis ist es jedoch unglaublich schwierig, zweimal das gleiche Ergebnis zu erzielen oder ein langfristiges Ergebnis vorherzusagen, weil diese Systeme so empfindlich auf winzige Änderungen reagieren.

In der Natur kommen chaotische Systeme häufig vor. Denken Sie zum Beispiel an das Wetter. Sie kennen bestimmt die Metapher vom Schmetterling, der mit seinem Flügelschlag am Bodensee einen Wirbelsturm in Australien auslösen kann. Das Bild ist natürlich übertrieben. Doch in Anlehnung daran spricht man auch vom Schmetterlingseffekt.

Die mathematische Untersuchung solcher Systeme ist ein schwieriges und aktives Forschungsgebiet. Viele Mathematiker arbeiten daran, die Lösungsverfahren für Systeme von Differentialgleichungen weiter zu verbessern.