Geometrie und Dynamik

Erinnern Sie sich noch, wie man einen Würfel aus einem Blatt Papier bastelt? Wie sieht er aus, wenn er aufgefaltet wird?

Beim Spiel „Match the Net” geht es genau um diese Zuordnung von dreidimensionalen Formen zu ihren aufgefalteten Polytopen. Allerdings sind die Formen deutlich komplizierter als ein Würfel und so wird das Spiel schnell zu einem kniffligen und spannenden Rätsel.

Mit Polytopen beschäftigen sich die Geometer unter den Mathematikern. Polytope sind geometrische Objekte mit flachen Seiten. Zweidimensionale Polytope heißen Polygone. Einfache Beispiele sind Dreiecke oder Vierecke. Dreidimensionale Polytope heißen Polyeder. Dazu gehören zum Beispiel Würfel, Quader, Prismen und Pyramiden. Die Seitenflächen von Polyedern setzen sich aus Polygonen zusammen, zum Beispiel kann eine Pyramide aus einem Viereck und vier Dreiecken bestehen.

Es ist eine offene Frage der Mathematik, ob jedes Polyeder sich in ein planares Netz auffalten lässt. Natürlich greifen die Wissenschaftler bei der Lösung nicht nach Schere und Papier. Sie arbeiten mit Computerprogrammen wie „polymake”.

Ein Lichtstrahl fällt in ein Raster aus kreisförmigen Spiegeln und wird nach den Regeln der geometrischen Optik reflektiert. Dabei entstehen bei ganz bestimmten Positionen der Lichtquelle schöne symmetrische Reflektionsmuster. Wenn Sie die Position auch nur ein bisschen verändern, verschwindet das Muster.

Mit den verschiedenen Knöpfen auf dem Startbildschirm können Sie unterschiedliche Spiegelraster auswählen, zum Beispiel ein Raster aus 5 mal 5 Spiegeln. Sie können das Raster mit dem Finger bewegen und die Lichtquelle verschieben. Mit dem Prozentzahl-Knopf oben rechts können Sie für jedes Muster den Radius der Spiegel verändern. Beobachten Sie, wie sich das Reflektionsmuster verändert. Betätigen Sie den Knopf in der unteren rechten Ecke, erscheint eine Animation, die verschiedene symmetrische Muster hintereinander abspielen lässt.

Die Software berechnet alle Reflektionen nach den Gesetzen der Strahlenoptik. Die Grundannahme ist, dass sich das Licht als Strahl ausbreitet. So kann man die Strahlen als Geraden zeichnen und die Gesetze der Geometrie anwenden. Das Modell erscheint zunächst einfach, doch kleinste Änderungen an der Position der Lichtquelle bewirken große Veränderungen des Ergebnisses. Das Programm rechnet in sogenannter Langzahl-Arithmetik mit einer hohen Anzahl an Nachkomma-Stellen und kann die Reflektionen deshalb sehr präzise darstellen.

Qi ist ein Programm zur Visualisierung von mathematischen Flächen aus dem Gebiet der Differentialgeometrie. Mit den Knöpfen am linken Rand können Sie verschiedene Flächen auswählen. Mit dem i-Knopf, rechts oben, blenden Sie eine kurze Beschreibung zur jeweiligen Fläche ein. Die anderen Knöpfe in der rechten Menüleiste dienen dazu, Eigenschaften der Flächen zu verändern, wie zum Beispiel die Textur oder die Farbe.

Die Differentialgeometrie beschäftigt sich mit der Krümmung von Formen. Es geht darum, die Eigenschaften von Kurven, gekrümmten Oberflächen aber auch Formen mit mehr als drei Dimensionen mathematisch präzise zu beschreiben. Man benötigt dies zum Beispiel für die Kartographie, für die Hydro- und Aerodynamik, für die Berechnung von Flugbahnen oder für technische Verfahren zur plastischen Verformung. Auch für Einsteins allgemeine Relativitätstheorie braucht man die Erkenntnisse der Differentialgeometrie.

Besonders interessant sind Flächen, bei denen ein genau festgelegtes Qualitätsmaß nicht verbessert werden kann, wenn man kleine Änderungen an der Fläche vornimmt. Dazu gehören Minimalflächen. Minimalflächen haben die gleichen Eigenschaften wie Seifenhäute. Eine Seifenhaut, die man durch Eintauchen eines gebogenen Drahtes in Seifenlösung erhält, hat die kleinste Oberfläche unter allen möglichen Flächen, die man in den Draht einspannen kann. Ihre sogenannte „mittlere Krümmung” an jedem Flächenpunkt ist Null. Seit den 1960er Jahren werden Minimalflächen als Modelle für leichte Dachkonstruktionen herangezogen, zum Beispiel für das Dach des Münchner Olympiastadions.