Mathematik des Planeten Erde

Das Programm Dune Ash simuliert, wie sich bei einem Vulkanausbruch die Aschewolke ausbreitet. Platzieren Sie einen Vulkan irgendwo auf der Karte Europas, indem Sie mit dem Finger darauf tippen. Mit dem Pfeilknopf bewegen Sie sich durch die weiteren Schritte.

Zeichnen Sie ein Windfeld mit mehreren Strichen auf den Bildschirm. Der Wind kann geradeaus wehen oder sich drehen, je nachdem wie Sie zeichnen. Je schneller Sie zeichnen, umso schneller weht er später. Wählen Sie anschließend eine Diffusionskonstante. Dieser Wert beschreibt die zufälligen Bewegungen der Ascheteilchen aufgrund ihrer thermischen Energie. Anschließend berechnet das Programm die Ausbreitung der Aschewolke und zeigt sie auf dem Bildschirm an. Das kann allerdings einen Moment dauern.

Simulationen von komplexen physikalischen Vorgängen sind ein wichtiger Forschungsbereich in der angewandten Mathematik. Sie werden zum Beispiel für die Wettervorhersage benötigt oder für die Berechnung der Verbreitung von Schadstoffen in der Atmosphäre. Solche Vorgänge können von vielen unterschiedlichen Parametern beeinflusst werden. Mathematiker beschreiben zunächst die Modelle dieser Vorgänge durch Systeme von Differentialgleichungen mit mehreren Variablen. Die Gleichungssysteme werden umso komplexer, je genauer man sich der Realität annähern möchte und je mehr Parameter dabei berücksichtigt werden. Sie anschließend am Computer mit mathematischen Algorithmen zu lösen ist eine anspruchsvolle Aufgabe. Häufig können die Lösungen nur näherungsweise bestimmt werden. Die Differentialgleichung für das Modell der Aschewolke sehen Sie rechts auf dem Bildschirm.

Es ist absolut unmöglich, die Erdoberfläche ohne Verzerrungen auf eine ebene Weltkarte abzubilden. Das hat bereits Carl-Friedrich Gauß bewiesen. Für die Kartographie bedeutet das, dass es keine perfekten Landkarten geben kann. Man muss sich jeweils entscheiden, ob man für einen bestimmten Zweck eine winkeltreue, eine flächentreue oder eine längentreue Abbildung benötigt.

In diesem Programm können Sie acht unterschiedliche Abbildungen der Weltkarte erkunden und miteinander vergleichen. Wählen Sie im unteren rechten Bereich des Programms die verschiedenen Projektionen aus. Achten Sie auf den Flächeninhalt und den Umfang der einzelnen Kontinente.

Im Menü links unten können Sie verschiedene Interaktionen auswählen. Sie können zum Beispiel Verzerrungsellipsen auf der Karte anzeigen lassen. Wenn Sie dann mit dem Finger auf die Karte tippen, wird an diesem Punkt eine Ellipse angezeigt. Rot bedeutet eine starke Verzerrung an dieser Stelle. Grün zeigt an, dass es kaum Abweichungen gibt. Ist die Abbildung winkeltreu, dann sind alle Verzerrungsellipsen Kreise. Ist die Abbildung flächentreu, dann haben alle Verzerrungsellipsen den gleichen Flächeninhalt. Ist die Abbildung längentreu, dann haben alle Verzerrungsellipsen in Richtung der Längentreue gleich lange Halbachsen.

Stromnetze sind ausgeklügelte und balancierte Systeme um Energie zu leiten und zu verteilen. Sie sind so angelegt, dass lokale Störungen schnell ausgeglichen werden und das Stromnetz mit einer gleichbleibenden Frequenz läuft.

Mathematiker tragen zur Stabilität von Stromnetzen bei, indem sie Simulationen erstellen, mit denen kritische Punkte im System identifiziert werden können.

Diese Simulation zeigt das Stromübertragungsnetz Skandinaviens. Die Knotenpunkte repräsentieren Stromerzeuger oder Stromverbraucher. Die Linien zwischen den Punkten stellen die Übertragungsleitungen dar. Auf der rechten Seite der Landkarte sind verschiedene Regler, um das Stromnetz zu beeinflussen. Mit den blauen Buttons kann die Simulation gestoppt und gestartet werden. Mit „Reset“ führen Sie das System in einen stabilen Zustand zurück. Wenn Sie auf „Random State” tippen, dann wählt das Programm die Phasenverschiebung und die Frequenz jedes Knotenpunkts zufällig aus. Sie können auch einen Knotenpunkt antippen und selbst Eigenschaften wie Frequenz oder Dämpfung verändern. Schauen Sie anhand des Frequenzmessers rechts unten neben der Landkarte, wie schnell das Stromnetz die Störung ausgleicht. Schaffen Sie es, das Stromnetz langfristig in die Knie zu zwingen?

Anhand solcher Simulationen wollen Wissenschaftler herausfinden, welche Knotenpunkte in einem Stromnetz besonders anfällig sind und welche Art von Störungen das System nachhaltig destabilisieren. Damit gewinnen sie wertvolle Informationen für die zukünftige Gestaltung des Netzausbaus.