Mathematik und Mineralien

Fliegen Sie durch virtuelle Atomgitter von Kristallen und durch vierdimensionale Räume. Als wären Sie ein Pilot in einem Nano-Jet können Sie dadurch den Aufbau von Fluorit, Quartz und Diamant von innen erkunden. Tippen Sie auf eines der Symbole, setzen Sie eine 3D Brille auf, und schon geht es los.

Mit dem Hebel rechts unten stellen Sie die Geschwindigkeit ein. Indem Sie mit der Hand über die Projektionsfläche fahren, können Sie die Flugrichtung ändern.

Natürlich sehen die Atome in Wirklichkeit nicht wie farbige Kugeln aus, die mit Stäben verbunden sind. Das ist nur ein einfaches Modell. Dadurch ist jedoch gut zu erkennen, dass die Atome in einer gitterartigen Struktur angeordnet sind und sich ihre Anordnung in einer konstanten Richtung immer wiederholt.

Der vierte Flug ist eine mathematische Besonderheit. Es handelt sich um einen vierdimensionalen Raum aus 120 dreidimensionalen Dodekaedern. Der Raum ist in sich geschlossen, das heißt: Er hat keinen Rand. Wenn man an einem Ende hinausfliegt, kommt man automatisch an der gegenüberliegenden Seite wieder hinein. Man kann sich das ähnlich vorstellen, wie wenn man auf einer Kugeloberfläche immer in eine Richtung geht. Irgendwann kommt man automatisch wieder zur selben Stelle.

Polyeder sind Körper, die ausschließlich von geraden Flächen begrenzt sind. Sie sind für die Kristallographie wichtig, weil Kristallformen häufig Polyeder bilden. Im Programm "Platonische Körper" lernen Sie fünf ganz besondere Polyeder näher kennen. Sie können sie ineinander schachteln und dadurch die besonderen geometrischen Beziehungen zwischen den platonischen Körpern entdecken.

Das Programm "Polyeder basteln" ermöglicht es Ihnen, aus den Platonischen Körpern neue Polyeder zu erzeugen. Schneiden Sie zum Beispiel die Ecken ab oder ziehen Sie die Flächenmittelpunkte heraus. Durch Antippen des Zauberstabs übernehmen Sie das aktuelle Objekt als neuen Ausgangspunkt für weitere Veränderungen. So können Sie ihren eigenen, virtuellen Kristall basteln.

Auch im Programm "Auffaltung" geht es um Platonische Körper. Hier können Sie sich anschauen, wie ein Faltbogen des jeweiligen Körpers aussehen müsste.

Im Programm "Archimedische Körper" lernen Sie eine weitere Klasse besonderer Polyeder kennen. Erkunden Sie, wie aus einem platonischen Körper ein archimedischer Körper geformt werden kann.

Mit bestimmten Körpern kann man allein durch verschobene Kopien den dreidimensionalen Raum nahtlos ausfüllen. Man nennt solche Körper Packungspolytope. Im Programm "Kristallpackungen" kann man dies für fünf wichtige Repräsentanten ausprobieren. Solche Strukturen bilden die Grundlage für die Atomanordnungen in Kristallen.

Im Programm "Kristallfraktale" können Sie großräumige Strukturen mit fraktalen Eigenschaften erzeugen. Dabei werden an die Ecken eines Körpers verkleinerte Kopien des gleichen Körpers gesetzt. Fährt man iterativ fort, ergeben sich je nach Ausgangskörper verschiedene Strukturen. Im Falle des Tetraeders entsteht ein sehr bekanntes Fraktal: das Sierpinski Tetraeder.

Für das Verständnis von Kristallwachstum ist auch die Richtung der möglichen Begrenzungsebenen wichtig. Durch die Anordnung der Atome im Kristallgitter bilden sich bevorzugt Richtungen aus, die bezüglich der Gitterstruktur symmetrisch liegen. Bei kubischen Kristallgittern sind dies bevorzugt die Facettenrichtungen von Würfeln, Oktaedern oder Rhombododekaedern. Schneidet man diese Körper, so erhält man sehr realistische Kristallformen. Dies können Sie im Programm "Durchschnitte" genauer betrachten.